宋元两代，我国古代数学在汉唐基础上又有了新的发展，尤其在13世纪，在南宋与金、元南北对峙的政治格局下，数学研究却达到了一个高峰，涌现了秦九韶、李冶、杨辉、朱世杰等四大数学家。

秦九韶，字道古，四川普州(今安岳县)人，主要着作是南宋理宗淳佑七年(1247年)完成的《数书九章》，全书共18卷，81个问题。书中有一个着名的“遥测圆城”的问题，这个问题给出了 一个圆形外围的直角三角形的某些条件，求圆的直径。秦九韶列出了一个十次方程来解决这个问题，并且提出了高次方程的数值解法——“正负开方术”。当然，圆城问题本身只需要三次方程便可以解决了，而秦九韶用了十次方程，有人称他“好高骛远”，有人则认为他是为了将三次方程解法推广到高次方程而有意这样做的。秦九韶还提出了联立一次同余式的解法——“大衍求一术”。最早的同余问题(即所谓 “物不知数” 问题)出现在《孙子算经》中：有物不知其数，三个一组来数剩余二，五个一组来数剩余三，七个一组数又剩余二，问该物的数目?答案为23。《孙子算经》中提供了这一问题的答案，但原书中的方法只是一个特例，而未以普遍定理的形式出现。秦九韶的大衍求一术，将 “物不知数”问题推广为一般同余式组解法，实现了理论上的飞跃。

李冶，号敬斋，真定栾城(今河北栾城)人，与秦九韶是同时代人。主要代表作为 《测圆海镜》，该书共12卷，170问，都是有关已知直角三角形中某些线段，求内切圆和旁切圆直径的。该书看似几何书，却叙述了一种普遍的列写代数方程的方法，即“天元术”。天元术引入了代表未知数的符号，于是任意的数学高次方程都可以表示为与近代数学一致的普遍形式。李冶还掌握了将分式方程化为整式方程的方法。

杨辉，字谦光，浙江钱塘(今杭州)人。主要着有《详解九章算法》、《日用算法》、《乘除通变算宝》、《田亩比类乘除捷法》等。杨辉受沈括将堆积的酒坛类比于层坛体积的做法启示，正式提出了“比类”一词(即“比照类推”)，并在《详解九章算法》的“商功”部分中，分别将隅垛、方垛、三角垛与《九章算术》中的方锥、方亭、鳖臑相比类，得到了几个重要的多阶等差级数公式。杨辉的着作中还介绍了许多他人的数学成果，例如改革筹算乘除运算的“以加代乘”法和“以减代除”法，以及当时的一些乘法口诀。最为重要的是，他记录了北宋数学家贾宪的一个三角数表(如图)。这个数表实际上就是二项式展开的系数表，(a+b)²、(a+b)³的展开各项系数均可以在数表的第三、四行找到。这个表通常被称做“杨辉三角”，它完全等同于法国数学家帕斯卡1653年提出的“帕斯卡三角”。由于该数表有丰富的数学内涵，所以至今仍为人们所重视。

《测圆海镜》书影

贾宪三角数表

四大名家中，朱世杰堪称一位集大成者。朱世杰，字汉卿，燕山(今北京一带)人。在14世纪初，他将解一个未知数方程的天元术，发展成了有四个未知数的方程组的解法——四元术;他还将三角垛的公式引用到招差术中，得到包含四次差的招差公式，并且可以推广到任意高次。朱世杰对球体表面积问题也作过探讨，虽然未成功，却是中国数学史上唯一一次探讨这一问题。可以说，他将中国古代数学推上了一个前所未有的高峰。

秦、李、杨、朱四大名家的数学成果，诸如正负开方术、天元术、四元术、大衍求一术、垛积术和招差术，都是具有开创意义的数学成就，西方类似成就的出现要晚数百年。宋元时期，是我国传统数学的一个黄金时期。

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