《九章算术》内容丰富，且与社会实践联系紧密，体现了古代数学的显着特征。但它是以问题集的形式编成的，对于问题的解法和结论缺少必要的文字说明，这样，书中的叙述常常就成了“特例”，而缺少普遍的理论意义。公元3世纪的大数学家刘徽为《九章算术》作了注，很大程度上弥补了原书的不足，使我国古代数学体系走向成熟。在《九章算术注》中，刘徽精辟地阐明了各种解题方法的原理，给出了简要的证明，且指出了某些近似解法的精确程度和个别解法的错误。尤其可贵的是，他开创了一些被后世长期使用的普遍数学方法，这些方法主要包括割圆术、齐同术、今有术、图验及棋验法、重差法等。

割圆术为圆周率的求得建立了有效的理论算法，是刘徽最重要的数学贡献。其原理是，在圆内作内接正多边形，然后用正多边形的面积近似值代表圆面积，进而求得圆周率的近似值。割圆术继承了前人的极限思想，方法上又极其精妙，值得特别介绍。

今有术是从一个已有量(“今有”量)出发，通过比例求得未知量的方法。比如《九章》中的“均输”第十七题云： “今有客马日行三百里。客去，忘持衣。日已三分之一，主人乃觉，持衣追及，与之而还至家，视日四分之三。问主人马不休，日行几何?”刘徽作注分析认为：主人追及客人的时候，二马所用的时间(用日率)和马行的速度(马行率)成反比。主人用日率为1/2(3/4-1/2)=5/24日，客人用日率比主人多1/3日，即1/3+5/24=13/24日，两者之比5：13，而主、客马行率之比应为13：5。从已知的客人马行率为每天300里，可推知主人的马一天共可行780里。

齐同术就是分数计算中的通分方法，刘徽认为，“凡(分)母互乘(分)子谓之齐，群母相乘谓之同”。分数要进行加减运算，必须有同样的分母，做到“同”(通分)，还要使每一个分数的分子与分母同步扩大，做到“齐”，即“母同子齐”，分数才能加减。刘徽还将齐同术用在联立方程组的解法中，提出了互乘消元法，使消元过程得以简化。

图验法是求平面图形面积的方法，说到底是一种“以盈补虚”的拼凑法。如圭田(三角形ABC)的面积应为S=1/2hl，为了证明这个公式，我们可以过AD中点H及B、C作辅助线(如图1)，△ABC的面积显然就等于长方形面积，而长方形一边长为1，另一边长正好为1/2h，S=1/2hl。这样三角形面积公式就得到了证明。除面积计算外，刘徽还利用平面图形的分割与组合，成功地证明了勾股定理、勾股弦及它们的和差互推、开方法等问题。

棋验法与图验法本质上是一回事，图验法是平面图形的分解与拼凑，而棋验法是立体模型(即“棋”)的分解与拼凑。刘徽以此法解决各种立体图形的体积求解问题。他对各种形体之间的组合关系分析得十分透彻，以立方、堑堵、阳马、鳖臑为基本模型，拼凑出了方锥、刍童、羡除、方亭的体积公式。例如，一个方亭就可以视为一个方柱加四个堑堵，再加上四个阳马(如图2)，而任意一个四面体均可分为六个鳖臑，这样，这些复杂形体的体积问题就迎刃而解了。图验、棋验都体现了刘徽本人“出入相补”的思想。

《重差》原为《九章算术注》的第十卷，即后来的《海岛算经》，内容是测量目标物的高和远的计算方法。重差法是测量数学中的重要方法。

刘徽的数学贡献涉及众多领域，他对弧田面积、圆锥体积、球体积、无理数、解方程等问题都有深入的研究。他在特殊的解法基础上，抽象出问题的共性，开创了出入相补、极限逼近等流传千古的普遍思想方法; 而且，他以图形和模型来说明文字，把具体操作与理论紧密结合在一起，使中国数学重实践的传统转化为有效的科学工具。所有这些表明，在刘徽生活的时代，中国古代数学的内容、方法、风格均已走向了成熟。

图1 求圭田面积示意图S=1/2hl

图2 方亭示意图

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