天元术是解一元方程的方法，它最早可能萌芽于唐代。唐初王孝通的《缉古算经》中有一种“带从开立方” 法，用以求解x³+ax²+bx+c=0类型的三次方程。北宋时，贾宪将“带从开立方”法加以改进，创造了“增乘开方法”，将开方法推广到任意高次的开方中，并且提出了“开方作法本原图”，即后来的“杨辉三角”。12世纪的北宋数学家刘益首次研究了各项系数可正可负的一般方程解法，而秦九韶则将“增乘开方法”推广为任意高次方程的求正根方法。

随着高次方程求正根的增乘开方法逐渐完备，天元术也发展起来了。天元术是根据已知条件，列写包含所设未知数的方程的方法。用天元术列方程，首先需说明“立天元为某某”，天元即未知数，这就相当于今天我们常说的“设某某为x”;然后根据条件，列出包含天元的两个相等多项式，两边相减，就得到了一个等于零的多项式，这就是高次方程;最后再用增乘开方法求该方程的正根。可见，天元术与我们今天列代数方程的方法是基本一样的。王孝通为了列三次方程，只好借助于纯文字说明，使思维过程和叙述方式极其艰涩，这正是因为他缺少天元术这样一种简捷有效的方法。天元术可能是一批数学家的共同成果，但大部分有关着作佚失了。现存最早的对天元术的系统论述见诸李冶的《测圆海镜》，后来，朱世杰又深入说明了天元术的优越性。

天元术是宋元时期数学家作出的重要贡献，但当某个问题中包含多个未知数时，应当怎么办呢?杰出的元代数学家朱世杰将天元术原理应用于联立方程组，于14世纪创立了四元术，他的《四元玉鉴》就是一本关于四元术的专着。朱世杰提出，当未知数不止一个时，除设天元外，根据需要还可以设地元、人元、物元，这就相当于我们今天常用的字母符号x、y、z、u，然后列出有四个未知数的四元联立高次方程组。朱世杰在《四元玉鉴》 中给出了天、地、人、物四元及常数项的算筹放置方法，进而举例说明了如何用消去法逐渐消去多元方程组中的未知数，最终得到 一个只含一个未知数的一元高次方程的方法。《四元玉鉴》 虽未提及一元高次方程的解法，但这个问题显然已不成为问题了，朱世杰的前人已解决了它。在欧洲，法国数学家贝佐于18世纪也系统叙述了高次方程组的消元法。

四元术是我国古代方程研究方面的最高成就，有人称它不仅是中国古代数学领域最光辉的篇章，也是中世纪世界数学史上最杰出的一页。但由于复杂的原因，这中世纪世界数学领域最辉煌的一页未能延续下去，反而渐渐走向没落，以至于长期失传。这其中的原因值得我们深思。

《四元玉鉴》书影

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