作者：主编 时间：2022年12月31日 阅读：132 评论：0

宋代是中国古代数学最辉煌的时期之一，这时的许多着名学者都对数学进行了深入的研究。在北宋大科学家沈括的名着《梦溪笔谈》中，就有十多条有关数学的讨论，内容既广且深，堪称我国古代数学的瑰宝。

沈括最重要的数学探讨是隙积术和会圆术。隙积术在我国数学史上开辟了高阶等差级数求和的研究领域。《九章算术》“均输”中曾提出过等差级数问题，5世纪的《张丘建算经》中给出了等差级数公

式。但对高阶等差级数的研究始自沈括。所谓“隙积”，指的是有空隙的堆积体，例如酒店中堆积的酒坛，叠起来的棋子等，这类堆积体整体上就像一个倒扣的斗，与平截头的长方锥(刍童)很像。但是隙积的边缘不是平的，而中间又有空隙，所以不能照搬刍童的体积公式。沈括经过思考后，发现了正确的计算方法。他以堆积的酒坛(积罂)为例说明这一问题(如图1)：设最上层为纵横各2个坛子，最下层为纵横各12个坛子，相邻两层纵横各差1坛，显然这堆酒坛共11层;每个酒坛的体积不妨设为1，用刍童体积公式计算，总体积为3784/6，酒坛总数也应是这个数。显然，酒坛数不应为非整数，问题何在呢?沈括提出，应在刍童体积基础上加上一项“(下宽-上宽)×高/6”，即为110/6，酒坛实际数应为(3784+110)/6=649。加上去的这一项正是一个体积上的修正项。在这里，沈括以体积公式为基础，把求解不连续的个体的累积数(级数求和)，化为连续整体数值来求解，可见他已具有了用连续模型解决离散问题的思想。隙积术后来经杨辉、朱世杰等人发展，形成为一套处理高阶等差级数的有效方法。

图1 积罂示意图

图2 会圆术计算图

《梦溪笔谈》 书影

会圆术是对圆的弧矢关系给出的比较实用的近似公式。如图2图形中，已知直径为d，圆弓形高为h，则据勾股定理， 弦长沈括进一步应用《九章算术》中弧田(图中阴影部分的圆弓形)的面积近似公式，求出弧长，这便是会圆术公式。沈括得出的虽是近似公式，但可以证明，当圆心角小于45°时，相对误差小于2%，所以该公式有较强的实用性。后来郭守敬、王恂在历法计算中，就应用了会圆术。会圆术的主要思想是局部以直代曲，从上述弧长公式中可以看出，当弧长逐渐缩小时，S便与C越来越接近。这是对刘徽割圆术以弦(正多边形的边)代替圆弧思想的一个重要佐证，很有理论意义。

在《梦溪笔谈》中，沈括还应用组合数学法计算得出围棋可能的局数是3³⁶¹种，并提出用数量级概念来表示大数3³⁶¹的方法。沈括还在书中记载了一些运筹思想，如将暴涨的汴水引向古城废墟来抢救河堤的塌陷，以及用挖路成河、取土、运输，最后又将建筑垃圾填河成路的方法来修复皇宫等。他还用运筹方法来研究军粮供应与行军进退的关系。沈括对数的本质的认识也很深刻，指出：“大凡物有定形，形有真数。” 显然他否定了数的神秘性，而肯定了数与物的关系。他还指出： “然算术不患多学，见简即用，见繁即变，乃为通术也。” 对于这句话，恐怕任何一位数学家都会同意的。

沈括不是专门的数学家，但他的确是位大数学家。

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