现代数学基础的一场大论战在1902年拉开了序幕，这在自然科学史上是一件举世瞩目的大事。自从科学巨匠牛顿和莱布尼兹创立微积分把无限带进了数学，数学家柯西接着建立了严格的极限理论，戴德金等又将实数理论严密化以来，数学便有了可靠的基础，成为完整得几乎无懈可击的体系。因此，数学家庞加莱在1900年宣布：现在我们可以说，完全的严格性已经达到了!

但是事隔三年，正当康托创立的集合论开始为大家所接受的时刻，英国的罗素于1902年提出了一个集合论上的悖论。这一悖论非常清晰，数学家几乎没有辩驳的余地，一盆冷水浇下来，使数学家们目瞪口呆。数理逻辑学的前驱弗雷格在他的《论数学基础》卷二的书后写道：“对一个科学家来说，没有一件事比下列事实更令人扫兴：当他工作刚刚完成的时候，突然它的一块奠基石崩塌下来了。当本书的印刷快要完成时，罗素先生给我的一封信就使我陷于这样的境地。”

罗素悖论震撼了数学界。号称天衣无缝、绝对正确的数学，居然会出现自相矛盾，正如晴朗的天空上出现一片乌云，并且眼看着倾盆大雨就要来临!这样，从1902年开始，一场数学界关于现代数学基础的论争开始了。

罗素悖论使数学家感到“不安全”，众人欲努力设法消除这个怪物。于是逻辑主义、直觉主义、形式主义相继出现，一场大论战终于把数学推向一个新阶段。

逻辑主义学派的代表人物是罗素和怀特海(英国数学家和哲学家)。他们合作写了著名的《数学原理》，基本观点是“数学即逻辑”。罗素说：“逻辑是数学的青年时代，数学即逻辑的壮年时代。”逻辑主义学派把数学全部归结为逻辑的企图没有也不可能实现。直觉主义学派认为数学理论的真伪，只能用人的直觉去判断。这一派最早的代表人物是克罗内克，他有一句名言：“上帝创造自然数，别的都是人造的”。意思就是说，只有自然数是人们可以感觉的真实存在，其余都是人为造出来的一些文字符号而已。近代直觉主义者的系统创立人是荷兰数学家布劳威尔，他把数学思维理解为一种创造性程序，认为数学必须受到基本的数学直觉的限制。这一基本思想在他1907年的博士论文《关于数学基础》中已经产生，后来他在1925年和1926年又发表一系列重要论文加以论述。他最惊人的主张是不承认排中律，不准用反证法证明一命题为真。第三派是形式主义，它的代表人物是希尔伯特。他在1899年写了《几何基础》一书，详细研究了几何公理。他认为所谓数学真理性不过是一个公理系统是否相容的问题。在罗素的集合论悖论出现之后，希尔伯特没有气馁，奋起保卫“无穷”，他在1904年的国际数学家会议上，论述了这些观点。他和他的学生伯奈斯写的《数学基础》两卷集是重要的经典著作。形式主义者认为：无论是数学的公理系统或逻辑的公理系统，其中基本概念都是没有意义的，其公理也只是一行行的符号，无所谓真假，只要能够证明该公理是相容的，不互相矛盾的，该公理系统便获得承认，它便代表一种真理，而悖论是不相容的一种表现。

20世纪即将过去，然这场争论至今尚未停止。当今的数学家已不再划分为3派。他们各取所长，且发展各派所长，形成统一的数学分支——“数学基础”，向着人类思维的深处探求规律。不过，数学大厦的基础至今仍然存在着裂缝。

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