“打算搞应用数学研究的数学家必须对所涉及的物理过程有相当透彻的了解。另一方面，为了适当地利用数学工具，工程师必须深入钻研数学分析的基本原理，并达到相当高的水平……真正的应用数学家，他们的原有经历可以是各种各样的：可以来自纯粹数学界、物理学界或工程科学界，但他们的共同目标是为工程科学提供数学工具。”
——著名空气动力学家 西奥多·冯·卡门
在德国西北部有一个美丽的小镇，小镇依山而建，明净的蓝天白云映衬着色彩斑斓的森林，镇上的居民们常常走路或者骑自行车出行，与大都市相比，这里多了一分静谧，少了车水马龙的喧闹。在这个小镇的山腰上和山脚下，散布着一栋栋古老的建筑物，这就是被称为“没有校门和围墙的大学”——哥廷根大学。
哥廷根大学成立于1734年，距今已有200多年的悠久历史。自成立以来，哥廷根大学声名日隆，到20世纪初时，已发展成为全欧乃至全世界的顶尖大学。从这里走出了多达四十多位的诺贝尔奖获得者，也涌现出像“铁血宰相”俾斯麦、大诗人海涅、哲学家叔本华这样的社会名流。然而，论及哥廷根大学对学术界产生的巨大影响，就不得不提起“哥廷根学派”。
卡尔·弗里德里希·高斯是近代数学的奠基者，也是历史上最重要的数学家、物理学家、天文学家之一。这位被称为“数学王子”的天才数学家在孩提时期就显现出过人的天资，最广为流传的趣闻是他9岁时利用很短时间就计算出了小学老师提出的问题：自然数从1到100的求和。实际上，他16岁时就敏锐地意识到非欧几里德几何学的存在，18岁时他发现了最小二乘法，并猜测了素数定理，19岁时第一个成功地用尺规构造出了规则的17边形，成为自古希腊时代以来对欧氏几何的第一次重要补充。
作为哥廷根学派的创始人，高斯的研究风格深深影响了后来者。他的学生及后来的数学家继承和推广了高斯的研究，使哥廷根学派人才辈出，这其中包括黎曼、弗里德里希·贝塞尔、狄利克雷和雅可比等著名数学家，他们的工作也对现代数学的发展产生了划时代的深远影响。到19世纪末、20世纪初，随着大数学家克莱因和希尔伯特的出现，大批优秀数学家汇聚到哥廷根，将哥廷根学派的影响力推到全盛时期，创造了辉煌的克莱因-希尔伯特时代。
菲利克斯·克莱因是德国数学家，他23岁就被埃尔朗根大学聘任为数学教授，1886年，他受邀加入哥廷根大学，开始讲授数学和物理之间的交叉课程。克莱因在非欧氏几何领域的研究成绩斐然，他与合作者发现了库默尔面上曲线的渐近线的基本性质，并于1871年证明了非欧几何的相容性。在他著名的埃尔朗根纲领中，以变换群的观点综合了各种几何的不变量及其空间特性，从而统一了几何学。
除了在纯粹数学上的成就外，克莱因大力提倡应用数学，为20世纪应用数学和力学的发展打开了通向辉煌的大门。1904年，在海德堡国际数学大会上一篇关于边界层的论文《论粘性很小的流体的运动》引起了克莱因的注意，文章的作者是来自汉诺威大学年仅29岁的路德维希·普朗特，他的这篇论文很快就成为流体力学的奠基之作。克莱因将普朗特从汉诺威高等理工学院聘请到哥廷根大学任工程力学教授，从此，二人在哥廷根大学创建了应用力学学派。普朗特培养了许多国际知名的力学家，这包括冯·卡门、威廉·普拉格等，著名力学家铁木辛柯和邓哈托也曾跟他作过研究工作，普朗特唯一一位女学生是来自中国的陆士嘉。
哥廷根学派的重要领袖之一、航空动力学家冯·卡门曾经总结克莱因对应用数学的看法：“工科大学不仅要有坚实的理论基础，还应该真正懂得科学研究的方法。除此之外，数学家也需要具备一些工程技术基础知识。”实际上，作为将哥廷根学派的研究风格传入美国的重要人物，冯·卡门对应用数学的理念做了进一步的发扬。正如他在著名应用数学期刊《应用数学季刊》的创刊号上发表的文章《用数学武装工程科学》中论及的观点一样，当纯数学家与工程师之间试图展开对话时，关于数学和应用科学之间的地位、相互关系等问题将会引发一系列深层次的思考。虽然数学发展史上许多重大发现都产生于对自然规律的探索，然而，纯粹数学家都会感到“把数学研究局限于考察那些有直接应用的问题，对这位‘科学的皇后’来说未免有点不公道，事实上，这位‘皇后’的虔诚的膜拜者对于把他们的女主人贬黜为她的比较注重实际的、一时较为显赫的姐妹的‘侍女’，经常感到忿忿不平。”
①数学家们的工作是在坚实的基础上建造一座大厦——建立在明确的公设上的定理体系，他们关心的是“由我自己的思维确切定义的事物之间的函数关系，以及使我得以探索这种函数关系的种种方法”。而工程师们则认为数学家们已经脱离了先辈的良好初衷，“18世纪和19世纪的前几十年也许是数学科学突飞猛进的黄金时代，那时，纯粹数学与应用数学之间没有明确的界线。大师们把逻辑思维和直观创造力结合起来，创立了一系列方法和定理”，工程师们甚至认为：“你们数学家有点像对人体疾病比对人体正常功能规律更感兴趣的医生，或者像关注人类思维病理失常而不去研究正常思维过程规律的心理学家……你们很少花费精力来寻找和讨论实际有用的解;即使这样做了，多数也只是局限于简单情形，比方说，讨论涉及几何形状简单的物体的问题。”
尽管数学和工程科学之间存在看似难以逾越的鸿沟，但是，工程师们也意识到：“我们确实需要数学家的帮助，来改进我们的直观方法，或许不妨说，对我们的直观方法加以评论和系统化。”数学家们也同意：“要把数学成功地应用于工程问题，需要数学家和工程师的密切合作。在表面上截然不同的领域里找出作为它们基础的共同的数学关系，这绝不是一件轻而易举的事。”无论对哪一方来说，大家都赞同一点：“打算搞应用数学研究的数学家必须对所涉及的物理过程有相当透彻的了解。另一方面，为了适当地利用数学工具，工程师必须深入钻研数学分析的基本原理，并达到相当高的水平。”
给哥廷根学派的研究理念下一个严格定义是困难的，但人们也可以从哥廷根学派的发展历史和人才辈出中窥得一些端倪，可以从一代又一代著名科学家身上感受到科学与技术、理论与实际、数学与应用的完美结合。冯·卡门认为：“真正的应用数学家，他们的原有经历可以是各种各样的：可以来自纯粹数学界、物理学界或工程科学界，但他们的共同目标是为工程科学提供数学工具。”
①人们往往感叹于哥廷根学派拥有那么多天资聪颖的天才学者，为应用数学的发展注入了无限活力，而这恰恰来自于学派领袖们自身科学气质所带来的号召力、凝聚力。无论是高斯、克莱因、普朗特，还是冯·卡门，他们对科学事业的忠诚追求，对科学问题的超凡洞察力，对青年一代的亲切关怀和无私帮助，以及他们独具特色的个人魅力，都成为后辈学人的楷模。从克莱因关注普朗特的“边界层理论”并聘请他到哥廷根大学任工程力学教授，到克莱因推荐冯·卡门去了亚琛工业大学任教;从普朗特向冯·卡门无私提供长期积累的实验资料，包括尚未发表的最新数据，到冯·卡门热情欢迎钱学森、林家翘、钱伟长、郭永怀等年轻有为的中国学生加入加州理工学院，这些科学巨人无一不对青年才俊给予不遗余力的培养，并为他们创造良好的学术交流环境，或许这是哥廷根学派蓬勃兴旺的秘诀之一。“千里马常有，而伯乐不常有”，这句中国古语最好地解释了哥廷根学派生生不息的原因。
如果说善于发现优秀的年轻学者是哥廷根学派的传统，那么，自由轻松的学术交流环境则是他们在科学上保持不断突破创新的法宝。克莱因不但善于讲课，而且经常组织研讨班以激发学术研究。冯·卡门曾回忆：“克莱因组织的学术讨论会使我非常入迷，像爱因斯坦、希尔伯特、闵可夫斯基、劳仑兹和龙格那样的大学者经常到会，这是高水平的科学聚会;才华横溢，想象新奇，令人振奋。事实上，这种学术讨论会是德国最新的科学思想的传送带，它吸引了所有青年的注意力。在学术讨论会上，我不仅结识了许多物理学家和数学家，而且对各个科学分支——从初露头角的原子理论到沙漠的砂粒运动都怀有浓厚的兴趣，日后我不独钻一门，能从事空间技术多方面的研究工作，正是靠在哥廷根打下的基础。”
沉浸在这种自由开放的学术环境中，冯·卡门完全打破了学科之间根深蒂固的界限，为发展数学在其他学科的应用打下了牢固的基础，他这样评价在那段时间的生活：“在哥廷根，我出席了一个又一个的原子理论讨论会，为那些年轻的物理学家所深深吸引。他们成群结队进出学校的各个课堂，一边走，一边谈;不是探讨新概念，就是为表面上互相矛盾的那些新发现寻求和谐统一的解释。在这种热烈的气氛下，我跟物理学家玻恩一起研讨原子理论就毫不奇怪了。”
①深受前辈的影响，冯·卡门把这种学风带到了美国。郑哲敏先生曾饶有兴趣地回忆：“讨论会通常在他住所的客厅里举行，助手和学生云集，提出各种各样的问题，大家热烈争辩，有时尚能心平气和，多数场合争得脸红耳赤……讨论时间长了，大家感到饥肠辘辘时，就到冰箱里找东西吃，冯·卡门的妹妹经常为大家备有精美点心。许多举世瞩目的结果，就是在这个客厅里孕育出来的。”冯·卡门深谙哥廷根学派的传统风格，在郑哲敏先生看来，冯·卡门懂得“每个人的研究都是重要的工作，希望每个人都能充分发挥自己的学识和经验，并对别人作出贡献”。因此，冯·卡门的讨论班深受年轻人欢迎，并大获成功。
加拿大多伦多大学的辛吉教授是林家翘和钱伟长的老师，也与哥廷根学派渊源颇深。钱伟长先生在回忆录中曾经写道：“哥廷根学派是应用数学的倡导者，他们都有很深的数学根底，有更好的对物理过程的理解，都强调对物理过程的本质的认识是主要的，但在数学方法上从不吝惜使用，力求其用在刀口上，要用得漂亮，用得朴素简洁。为了解决一个实际问题，不惜跳进数学这个海洋来寻找最合适的工具，甚至于创造新工具。”
①对于应用数学家来说，应该清楚数学与应用的关系，辛吉教授甚至说：“你们应该有捏着鼻子跳进海洋的勇气，但应该懂得避免沉入海底，懂得在完成任务后爬上来，寻找新的物质运动的主题。数学本身很美，但不要被它迷了路，应用数学的任务是解决实际问题。”
从应用数学家的角度出发，辛吉认为：“哥廷根是主张用数学来解决实际问题的，这和一般数学家的‘应用数学’不一样。数学家是在研究数学问题，从数学中找问题的。哥廷根学派是从物理、化学和一般技术之中找问题，而要用高明的数学办法去说明物理或技术问题，首先要弄清物理或具体技术问题的本质，其次是要用数学上现已通用的表达方式去表达它，然后按实际问题的需要来求得实际的定量或定性的答案。”辛吉对应用数学的阐述，可以说既形象又深刻，完全指出了应用数学的精髓。
林家翘先后师从辛吉和冯·卡门，他具有扎实的数学理论基础，同时又能够熟练运用数学工具解决流体力学、天体物理等领域的关键问题，哥廷根学派的研究风格显然在他身上得到了传承。
林家翘先生认为，数学的证明依靠严密的逻辑推理，一经证明就永远正确，所以，数学证明是绝对的。相对而言，科学的证明则依赖于观察、实验数据和理解力，科学理论的证明难以达到数学定理证明所具有的绝对程度，在思维严密的数学家眼里，物理学、化学、生物学、天文学等自然科学都是经验科学。“应用数学家要将数学的严密和精确引入经验学科，将这些学科中的实验问题归结或表示为能够用运算手段处理的数学问题，从而促进经验科学的发展。”林家翘先生如是说。
应用数学是利用数学的方法来发展经验科学的学科。应用数学始于经验性事实，止于对经验性事实进行规律性预测，这些规律还必须被其他的实验数据所证实。同时，用数学理论来发展经验科学往往又会向数学提出深刻的挑战，并对纯数学的研究启示新的方向。作为应用数学的鼻祖，牛顿基于大量天体运行资料，建立起天体运行的数学模型，提出了划时代的三大力学定律和万有引力定律，并成功解释了天体运行的基本规律。在此过程中，力学定律的内涵超越了那个时代传统数学的范围，牛顿不得不开拓新的领域，发明了微积分，然后再用微积分、力学定律和万有引力，求得了行星运行的规律。
在林家翘先生看来，他的导师冯·卡门是一位应用数学的倡导者和实践者。冯·卡门坚信自然界具有数学的本质，并用他毕生的经历从那些光凭经验无法澄清的混沌领域中寻求数学解答，他一直遵循的一个科学准则是“概括法”，即从一个复杂的物理过程中(无论是机器运行还是河水流动)概括出关键的物理因素，然后再用数学进行分析。
另一位被林家翘先生称道的应用数学家是冯·诺依曼。冯·诺依曼被称为“电子计算机之父”，然而，世界数学界同样坚持认为他是20世纪最伟大的纯粹数学家和应用数学家。从18岁开始撰写《关于车比雪夫多项式求根法的菲叶定理》的论文开始，这位天才少年就踏上了探寻数学世界奥秘的征程。1926年春，冯·诺依曼来到哥廷根大学，担任著名数学家希尔伯特的助手，之后他发表了《集合论的公理化》、《关于希尔伯特证明论》、《量子力学基础》等多篇集合论、代数和量子理论方面的文章，在国际数学界崭露头角，声誉高涨。他在25岁时就完成了著名的“会客室博弈论文”，成为后世博弈论的奠基之作。27岁那年，普林斯顿大学邀请他担任客座教授，次年就荣升为该校第一批终身教授。1933年，他加入普林斯顿高级研究院，与爱因斯坦等著名学者一起成为研究院最初六位教授之一，刚刚30岁的冯·诺依曼无疑是最耀眼的年轻科学家。
无论是在纯粹数学还是在应用数学研究方面，冯·诺依曼都显示了卓越的才能，取得了众多影响深远的重大成果。他对流体力学的湍流现象、激波理论、气象学等学科都做过深入的研究，成果颇丰。真正使他成为世界级应用数学家的工作要数社会经济学领域的博弈论和电子计算机、自动化理论。1944年，他和莫根施特恩合作的《博弈论与经济行为》出版，在这部著作中他们将数学科学的逻辑语言，尤其是集合论与组合数学方法，应用到社会理论的改革过程中，将经济学置于严谨的数学基础上，奠定了这一学科的基础和理论体系。
“数学思维比数学运算更重要。冯·诺依曼勇敢无畏地走出数学领域，他应用相似的方法解决不同问题的成功经历，激励着年轻的天才竞相仿效，约翰·福布斯·纳什就是其中一位。纳什证明的均衡定理推广了冯·诺依曼定理，成功地打开了将博弈论应用到经济学、政治学、社会学乃至进化生物学的大门。纳什也因博弈论定理的证明获得了1994年的诺贝尔经济学奖。这是应用数学发展经济科学的最新例证。”林家翘先生如是说。
哥廷根学派对应用数学的发展影响深远，使应用数学成为一门不同于纯数学的独立基础学科。在林家翘先生看来，应用数学是一门独立的学科，它有自己研究问题的态度、方法和思维模式，也有自己的教育理念和方法。应用数学家们希望揭示出自然界和社会中所观察到的实际问题的规律，无论是探讨心脏中血液流动的情况，还是研究星系旋转的规律，他们都力图寻找出各种模型来描述它们，把它们联系起来，并从中作出各种推断。而纯数学家们则从数学本身的抽象问题中寻找定量及原理，并论证结果。因此，应用数学与纯数学是科学研究领域中两个很不相同的学科。二者有交叉，相辅相成，但并不互相隶属。经验科学是应用数学的核心，而逻辑架构是纯数学的核心，它们都从属于数学科学，它们的本质区别在于价值判断的标准不同，实验验证在应用数学中起着举足轻重的作用。二者的共同之处在于应用数学家们也有兴趣发展新的数学，但这一兴趣更主要是由寻找并解决特定问题所驱动的。
应用数学的真谛是从自然现象出发，回到自然现象，两端都是事实。对于应用数学的研究范围，林先生借用了爱因斯坦的语言来描述：“它的范围可定义为我们全部知识中能够用数学语言表达的那个部分。”在第二次世界大战以前，应用数学的研究对象绝大部分与物理学有关。第二次世界大战引发的一系列科学和技术的竞争推动了应用数学的极大进展，促成了高等数学在力学和其他工程方面的应用，人们在战后的年代里前所未有地感受到了数学的概念和数学方法的力量。但是，林家翘教授认为中国应用数学领域的研究还相当欠缺。
“要发展应用数学，数学家们应学很多科学，科学家们则应学很多数学，这样才能维持平衡，应用数学才能健康发展。”林先生十分关心应用数学在中国的发展，他强调要重视应用数学与实用数学的区别，“应用数学不等同于实用数学，就像熊猫不是猫。实用数学的主要目的是满足社会上的需要，计算导弹的发射以及登月等，这是一种服务的性质，帮助解决服务对象提出的数学问题，它所注重的是数学的方法，注重方法的改进或提高;应用数学则注重的是主动提出研究对象中的科学问题，通过问题的解决加深对研究对象的认识，或创造出新的知识，它所注重的是用数学来解决科学问题。应用数学也应当为社会服务，但同时更重要的是要为科学本身服务，既服务于基础科学，又服务于应用科学，不断推动科学前沿的发展。应用数学用数学的方法推动经验科学和工程学的发展，同时又不断刺激对新数学的需要，为纯数学提出新的问题。这就是应用数学的双重性。”
《论语》中说：“学而不思则罔，思而不学则殆”，应用数学家的治学精神可用这句话来表明。如果只学习了数学的知识而不思考发挥知识的作用，就会产生迷茫;如果只思考如何解决实际问题却不学习知识，就会碰壁。在林先生看来，中国古老的治学方法讲究“博大精深”，“但中国现在时常发生的问题是精深有余，博大不足。把人的走向很早就定死，发展的空间就有限了。应用数学家们需要不断地学习新知识，学习研究的对象。如果要我在办公室里挂一个牌，我就会挂上‘学无止境’这个牌。”
经过半个多世纪的应用数学前沿研究之后，林先生洞察到21世纪应用数学家所面临的挑战是为生物科学建立数学理论。“我现在用以研究蛋白质结构的数学理论就是海森堡50年前提出来的湍流理论。将数学应用到生物科学的研究具有长远的前途，充满了机会。我预期15年以后，这类研究的成果会成为生物学及应用数学两科中的主流，成为本科生教育的一个主要部分。”林家翘先生充满激情地对青年学者说：“我现在可以作这样一个预测：传统应用数学的经验可以在生物学的研究上发挥力量。”
①冯·卡门:《用数学武装工程科学》,《应用数学与力学》1980年1月,第1-3页。
①冯·卡门:《用数学武装工程科学》,《应用数学与力学》1980年1月,第1-3页。
①钱伟长:《八十自述》,海天出版社1998年版。
①钱伟长:《八十自述》,海天出版社1998年版。
